데이터로 부터 추정량을 구하여 모수에 대한 guess 로 사용하는 것이 우리가 공부한 내용의 상당 부분. 그 일을 의미있게 하려면 우선 모수가 유일(unique)하여야 함. 모수가 유일하지 않다면 추정량이 무엇을 추정하고 있는지 말할 수 없기에 추정량을 통한, 예컨데 경제학적 해석이 의미를 갖기 어려울 수 있음.
식별: 모형 내의 한 모수가 unique함이 보장되면 그 모수가 식별되었다고 말함. 어느 식의 모수가 모두 식별된 경우 그 식이 식별되었다고 함. 식이 하나인 경우에는 모형과 식이 일치하므로 모형이 식별되었다고 해도 마찬가지. 모형내의 식이 여러개인 경우 모형을 구성하는 식이 모두 식별된 경우 모형이 식별되었다고 말함.
y_t = beta x_t + u_t
모형만 주어져 있을 뿐 아무런 추가 정보가 없다면 이 식의 beta는 식별되지 않은 상태임. 모형에 수반되어 E(x_t^2) > 2 과 E(x_t u_t) = 0 의 조건이 주어져 있다면 이 모형은 식별되었음. 왜냐하면 E(x_t u_t) = E(x_t (y_t - beta x_t)] = 0 로 부터 즉, 모집단 정규 방정식으로부터 beta = E(x_t y_t) / E(x_t^2)로 beta 가 unique 하게 정해지기 때문.
그러므로 표준적인 경우 (즉, 대수의 법칙이 성립하는 경우) 최소 자승법을 통해 beta 를 consistently estimate 할 수 있음 (= "OLS 추정량 beta hat은 beta에 대한 일치추정량임")
[E(x_t^2) > 0 의 조건은 no multicollinearity 의 조건에 해당. 이것은 보통 충족된다고 보는 것이기에 위의 두 조건 가운데 핵심은 E(x_t u_t) = 0 의 조건임]
위 모형에서 이제 x_t가 내생변수라고 한다면, 이는 위에서와 달리 E(x_t u_t)가 0 이 아니라고 말하는 것. 영이 아닐 수 있는 방법은 무수히 많기에 이렇게만 모형이 주어지면 beta 가 unique 하다고 말할 수 있는 근거가 없음. 즉 이 경우 beta 는 식별되지 않았음. 따라서 이의 추정을 시도하는 것은 의미가 없음.
그러나 위 모형과 더불어 제3의 관찰가능한 변수 w_t가 있어서 E(w_t x_t) 가 0 이 아니며 동시에 E(w_t u_t) = 0 이라는 조건이 주어져 있다면?
이 경우 직교조건을 활용하면 E(w_t u_t) = E(w_t (y_t - beta x_t)] = 0 이고, 따라서 beta = E(w_t y_t) / E(w_t x_t)로 unique 하게 정해짐을 볼 수 있음. 즉, beta 는 이 경우 식별 되었다.
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